J.P. SerreのA Course in Arithmeticと、Wilfrid HodgesのA shorter model theoryが届いた。
ていうかA shorter model theoryで日本語の検索すると、我がサイトが検索結果のかなり上の方に出てきて笑った。マジかよ日本語。本の内容なんか書いたらわりとお役立ちできるかね。
にしても「代数幾何 マイナス 体」が本によると昨今のモデル理論でやってることを上手く言い表してる感じらしい。
実はA shorter model theoryは知り合いの大学院生に「わかりやすい」つっておすすめされたりしたから注文してみたんだけど、確かに例がいっぱい載っててわかりやすいかも、と思った。数理論理学、特にモデル理論に興味のある方は読んでみるといいかもしれないです。
学祭期間中で暇なんだよね。
というわけで第1回。
いちいち写真を貼り付けながら記事を書いたら、写真需要と数学需要の両方が満たせて合理的！と思ったが、これはこれでお互い邪魔くさいな。
第1章 有限体の、セクション1のGeneralitiesから。たぶん一番とっつきにくい。というか僕はとっつきにくかった。
Let K be a field. The image of $\Z$ in $K$ is an integral domain, Hence isomorphic to $\Z$ or to $\Z/p\Z$, where $p$ is prime; its field of fractions is isomorphic to $\Q$ or to $\Z/p\Z = \F_p$.
たぶんここがネズミ返しになってるんじゃないかって気がする。いきなりぶっ殺しにかかってるというか、原著を読む限り何の前置きもない。訳書は多少ここに注釈が入っているのだけれど。1行目のThe image of Z in K というのは、たとえば
\[\tau:\ \Z\ \longrightarrow\ K\]
を$n \longmapsto\ n\cdot\ 1_K$によって定めてやると、これが準同型になっていて、準同型定理から$\Z/\ker(\tau)\ \cong\ \tau(\Z)$が導け、$\tau(\Z)$が整域だから$\ker(\tau)$が素イデアルとなるので、あとは0かpかで場合分けすればOK。
これは要は標数の定義で、「n個の1の和が0になる最小の整数n」と定義するより「標数0」がより明示的になってる。
ちょっと書いたら満足してしまった。TeXのコマンド打ちたいだけだかんな。
今後の数学の記事の指針を書いておこうと思う。ただこのまま数学Blogになるのもいただけないので、なんとか定期的に写真はアップしたい。ストックの写真はあるんだけど、時期を逃しまくっている。毎日持ち歩ける小さいカメラが欲しいね。金がないけど。
あと一人称を「僕」に統一する。何か数学の記事で「俺」とか恥ずかしくて言えない。なんとなく。
今読んでる本たち。
【数論関係】
世には便利なもんがあるもんだ！
MathJaxとは、Ajaxで(？)TeX形式の文字列を数式に変換してくれる便利なサービス。
http://www.mathjax.org/
導入してみるにあたって、MathJaxの使い方をかなり参考にさせていただいた(黒木玄先生に感謝)。ちなみに超無断リンク。怒られたらリンク外します。
たとえば、おなじみ数の集合:$\N$, $\Z$, $\Q$, $\R$, $\C$.
ほかにも$\zeta(2)$なんかだと:
\[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.\]
Axiom of Extensionality(外延性公理)は:
\[\forall{x}\forall{y}(\forall{z}(z\in{x} \leftrightarrow z\in{y}) \rightarrow x=y).\]
ゲーデルの完全性定理は:
\[T\vdash\varphi \Leftrightarrow T\models\varphi.\]
うおおー。ちなみに数学についての細かい部分のツッコミはナシで。ナシで！！
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晴れて買ったの。東京の丸善で5400円だった。無利子の奨学金が6000円増額されたですよ。ありがたいことに。で、天気良かったし、家の近くの河原(つっても溝みたいなもんだけど)で青空数学タイムという名の本のナナメ読み。